Point d'articulation

Voici un graphe. Il a $val17 composantes connexes. Il y a au moins un sommet tel que le nombre de "morceaux" (composantes connexes) du graphe augmente si on l'enlève, sans qu'il y ait plus de points isolés... Lequel est-ce ?
$val20

Combien a-t-il alors de composantes connexes ?


Village en quarantaine

$val6 villages sont reliés par un réseau de routes. On peut les représenter par le graphe suivant :
$val20
Mais il y a un point sensible : si on met en quarantaine un des villages, il ne sera plus possible d'aller de certains villages à d'autres. Donner le nom d'un tel village.

Combien y a-t-il alors de groupes de villages non reliés entre eux sans compter le village en quarantaine ?

Chaînes dans un graphe

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val13
Donner une chaîne de ce graphe, contenant exactement $val14 arêtes distinctes (on donnera la liste de ses sommets numérotés comme sur le dessin).

Nombre de chaînes entre deux sommets

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val14
Combien de chaînes de longueur $val7 existe-t-il entre les sommets $val16 et $val17 ?

Nombre de chaînes entre deux sommets II

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val14
Il y exactement $val19 chaîne chaînes de longueur $val7 entre le sommet $val16 et un autre sommet. Trouver ce sommet (il peut y en avoir plusieurs, mais on n'en demande qu'un seul)

Chaînes fermées dans un graphe

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val13
Donner une chaîne $val10 fermée de ce graphe, contenant exactement $val9 arêtes $m_ors distinctes (on donnera la liste de ses sommets numérotés comme sur le dessin : le dernier sommet doit donc être le même que le premier).

Nombres de chaînes fermées

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val14
Combien de cycles de longueur $val6 existe-t-il partant du sommet $val16 ?

Chaînes orientées fermées

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val14
Donner une chaîne $val10 fermée de ce graphe, contenant exactement $val9 arêtes $val11 distinctes (on donnera la liste de ses sommets numérotés comme sur le dessin : le dernier sommet doit donc être le même que le premier).

Nombre chromatique

Calculer le du graphe suivant


Colorier un graphe

le graphe avec le moins de couleurs possibles


Sous-ensemble stable

$val6 Voici un graphe . Le coloriage détermine des sous-ensembles maximaux. Donnez-en un.


Graphe complet

$val6 Voici un graphe. Donner un sous-graphe d'ordre maximal.

Vous avez donné comme sous-graphe complet d'ordre maximal le graphe de sommets $val40. Mais ce n'est même pas un sous-graphe complet. Le sous-graphe ayant comme sommets $val37 est, lui, complet maximal. Il n'est pas maximal, le sous-graphe de sommets $val41 le contient et est complet lui aussi. Il est de plus d'ordre maximal. Le sous-graphe de sommets $val37 est lui complet et d'ordre maximal. C'est un sous-graphe complet maximal, mais n'est pas d'ordre maximal. Le sous-graphe ayant comme sommets $val37 est, lui, complet maximal.

Le est supérieur ou égal à . Le degré maximum des sommets est . Le nombre chromatique est donc inférieur ou égal à .
Le nombre chromatique est en effet compris entre $val24 et $val17.
Chercher des et donner le nombre chromatique :

Matrice des distances

On considère le graphe représenté ci-dessous.
$val11

Consigne : Pour écrire la matrice, énumérer successivement les coefficients de chaque ligne en les séparant par des virgules, et passer à la ligne à la fin de chaque ligne de la matrice.


Distance maximale

On considère le graphe représenté ci-dessous.
$val11
Donner deux points qui sont à la plus grande distance (éventuellement infinie) sur ce graphe.

Distance de deux sommets

On considère le graphe représenté ci-dessous.
$val11
Trouver un point qui est à la plus grande distance du point $val17 .

Représentations de graphes

Voici deux représentations du même graphe, l'une dans le plan, l'autre dans l'espace. Compléter les noms des sommets dans la représentation dans le plan :

$val24


Chaînes eulériennes

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val20
Donner une chaîne eulérienne de ce graphe (donner la liste de ses sommets dans l'ordre, séparés par des virgules). Répondre 0 s'il n'y en a aucune.

Chaînes ou cycles eulériens

On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val23
Donner le degré de chacun des sommets.
$m_k
Le graphe est-il connexe ?

Existe-t-il


Chaînes ou cycles eulériens II

$m_On considère le graphe représenté ci-dessous :
$val23

Existe-t-il


Algorithme glouton de coloration

$val6
Voici un graphe. En utilisant l'algorithme , vous devez déterminer une du graphe en coloriant les sommets dans l'ordre suivant

$val31

Les couleurs ont été ordonnées dans l'ordre

$val28

Le $(val35[$m_step]) sommet de la liste (sommet $(val31[$m_step])) est de couleur

Algorithmes de coloration

Voici un graphe colorié :

Les sommets ont été coloriés dans l'ordre

$val45

Quel algorithme a-t-on utilisé ?

: :


Graphes isomorphes

Les deux graphes représentés sont isomorphes : seul le nom de leurs sommets est différent ainsi que leur représentation dans le plan. A vous de retrouver la correspondance :
$val18   $val17
Pour cela, écrivez la liste des numéros correspondant aux sommets $(val16[1..$val6]) (dans l'ordre bien sûr).

Graphes isomorphes ou non ?

Les deux graphes représentés sont-ils isomorphes ?
$val18   $val17

Isthme

Voici un graphe. Il a $val16 composantes connexes. Il y a une arête telle que le nombre de "morceaux" (composantes connexes) du graphe augmente si on l'enlève, sans qu'il y ait plus de points isolés... Laquelle est-ce ? (donner les deux sommets qu'elle joint)

$val19

Combien a-t-il alors de composantes connexes ?


Route coupée

$val6 villages sont reliés par un réseau de routes. On peut les représenter par le graphe suivant :
$val19
Mais il y a un point sensible : si on enlève une route, il ne sera plus possible d'aller de certains villages à d'autres. On essaye par contre qu'aucun village supplémentaire ne soit coupé complétement de tous les autres. Donner le nom de la route à couper en donnant le numéro de ces extrémités :
Donner le nombre de groupes de villages obtenus :

Matrice d'un graphe

Calculer la matrice d'incidence du graphe représenté
$val11
Consigne : on entrera la matrice ligne par ligne, en séparant les éléments d'une même ligne par des virgules.

Matrice d'un graphe non orienté ?

La matrice est-elle la matrice d'un graphe simple non orienté ?

Matrice d'un graphe orienté

Calculer la matrice d'incidence du graphe représenté
$val11
Consigne : on entrera la matrice ligne par ligne, en séparant les éléments d'une même ligne par des virgules.

Longueur d'un chemin et matrice

Voici la matrice d'un graphe ayant $val6 sommets :

.

Le calcul de donne

Combien y a-t-il de chemins allant du sommet $val16 au sommet $val15 en $val25 coups ? En regardant les matrices, donner la liste des étapes intermédiaires possibles.

Sommets et arêtes d'un graphe simple

On considère le graphe représenté ci-dessous.

$val17

Combien y a-t-il de sommets dans ce graphe ?

Combien y a-t-il d'arêtes dans ce graphe ?

Quel est le degré du sommet $val7 ?


Sommets et arêtes d'un graphe

On considère le graphe orienté représenté ci-dessous :

$val17

Combien y a-t-il de sommets dans ce graphe ?

Combien y a-t-il de boucles ?

Quel est le degré sortant du sommet $val7 ? Quel est le degré rentrant du sommet $val7 ?


Listes d'adjacence

On considère le graphe orienté représenté ci-dessous :

$val16
Pour chacun des sommets, donner la liste des sommets que l'on peut atteindre directement en suivant une arête orientée :

$m_k

Consigne : Si une des listes des sommets, rentrer 0 à la place.


Algorithme de coloration Welsh et Powell

$val6
Voici un graphe. En utilisant l'algorithme de , vous devez déterminer une du graphe.
Donner la liste des degrés des sommets dans l'ordre de leur numéro :
La liste des degrés des sommets est

$val14.

On choisit de classer les sommets dans l'ordre suivant (degré décroissant) :

$val31

Avec la $(val39[$m_step-1]) couleur, on colorie successivement (et dans l'ordre) les sommets .
Les couleurs ont été mises dans l'ordre

$val28

Consigne : séparer les nombres par des virgules.