Solutions salines en cascade

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val18

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc. On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant A$m_m , :

xrange 0, $val8 yrange -2,$val32+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,$val8 $val33

Quelle est la couleur de la courbe représentant ?

Calculer l' instant où le premier récipient contient la même quantité de sels que le récipient numéro $val45 où la quantité de sels est maximale dans le récipient numéro $val45 (si dépasse $val8, rentrer $val8).

Solutions salines en circuit circulaire

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val16

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc. On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant A$m_m , :

xrange 0, $val8 yrange -2,$val33+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,$val8 $val34

Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de est $(val46[1])..., calculer les limites des autres concentrations.

Solutions salines et oscillations

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val16

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc. On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant A$m_m , :

xrange 0, $val8 yrange -2,$val33+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,$val8 $val34

Les concentrations tendent vers une limite. Le font-elles en oscillant ? Si oui, donner les valeurs des pseudo-périodes qui peuvent intervenir. Sinon, rentrer 0.

Solutions salines et vecteurs propres

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val15

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc. On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant A$m_m , :

xrange 0, $val8 yrange -2,$val31+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,$val8 $val32

Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de est $(val44[1])..., calculer les limites des autres concentrations.

Solutions salines en circuit fermé

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val15

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc. On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant A$m_m , :

xrange 0, $val8 yrange -2,$val30+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,$val8 $val31

Calculer les valeurs limites des quantités de sels dans chaque bidon.

Solutions salines

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val15

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc. On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant A$m_m , :

xrange 0, $val8 yrange -2,$val31+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,$val8 $val32

Calculer les dérivées des fonctions en .

Mélange de solutions (modélisation)

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val17

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire les matrices et .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.


Mélange de solutions (modélisation) II

$val7 bidons sont remplis initialement (pour ) de $(val12[$m_u]) , $(val12[$val6]) d' une solution saline et contiennent alors $(val11[$m_u]) , $(val11[$val6]) de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

$val16

On note A$m_m , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions :

Ecrire les matrices et .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.


Solution à volume constant

Un bidon contient à l'instant un volume de liquide de . Il est alimenté avec un débit de d'un mélange contenant de sels. Il sort en même temps du mélange supposé homogène. On note la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant . xrange -1.1,3 yrange -1.1,3 lines black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 line 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue line 0.9,2,0.9,2.5,black line 1.1,2,1.1,2.3,black line 1.1,2.3,3,2.3,black line 0.9,2.5,3,2.5,black line 1.1,0,1.1,-1,black line 1.3,0,1.3,-0.8,black line 1.3,-0.8,3,-0.8,black line 1.1,-1,3,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium,$val6 m^3 text black,1.8,2.8,medium,$val8 g/m^3 text black,1.8,2.2,medium,$val7 m^3/s text black,1.8,-0.4,medium,$val9 m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black

Quelle quantité de sels en entre-t-il à l'instant $m_t ? Quelle quantité de sels en sort-il à l'instant $m_t ?

En effet, il entre et il sort de sels à l'instant $m_t. L'équation différentielle vérifiée par est

= -


Solution et EDO

Un bidon contient à l'instant un volume de liquide de . Il est alimenté avec un débit de d'un mélange contenant de sels. Il sort en même temps du mélange supposé homogène. On note la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant . xrange -1.1,3 yrange -1.1,3 lines black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 line 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue line 0.9,2,0.9,2.5,black line 1.1,2,1.1,2.3,black line 1.1,2.3,3,2.3,black line 0.9,2.5,3,2.5,black line 1.1,0,1.1,-1,black line 1.3,0,1.3,-0.8,black line 1.3,-0.8,3,-0.8,black line 1.1,-1,3,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium,$val6 m^3 text black,1.8,2.8,medium,$val8 g/m^3 text black,1.8,2.2,medium,$val7 m^3/s text black,1.8,-0.4,medium,$val9 m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black

Quelle quantité de sels en entre-t-il à l'instant $m_t ? Quelle quantité de sels en sort-il à l'instant $m_t ?

En effet, il entre et il sort de sels à l'instant $m_t. L'équation différentielle vérifiée par est

= -

A l'instant la concentration de sels dans le bidon est nulle. et le bidon a un volume de . Calculer l'instant où le bidon est plein. Calculer l'instant où le bidon s'est vidé de moitié. Quelle est alors la concentration de sels ?