Longueur d'arc paramétrée 2D

Calculer la longueur de la courbe paramétrée

,

entre et .

xrange $val23,$val24 yrange $val29,$val30 trange $val17,$val18 arrow $val23,0,$val24,0,10,grey arrow 0,$val29,0,$val30,10,grey plot skyblue,$val12,$val13 trange $val14,$val15 linewidth 3 plot blue,$val12,$val13

Veuillez donner votre réponse avec une précision d'au moins 4 chiffres après la virgule.


Point double cubique

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par

,

pour $m_in [$val16,$val17]. Déterminez le point double de la courbe.

r=2.5 xrange -r,r yrange -r,r trange -2,2 fill 0,0,white arrow -r,0,r,0,10,grey arrow 0,-r,0,r,10,grey text grey,0.88*r,0.16*r,small,x text grey,0.07*r,0.95*r,small,y disk $val28,$val29,8,red plot blue,$val14,$val15

Réponse : le point double est ( = , = )

Correspondant aux deux valeurs de : = et = .
(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)


Tangentes plates cubiques

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par

,

pour $m_in [$val19,$val20].

$val32

Donnez une valeur de pour laquelle la tangente de la courbe est $val33 :

Dans ce cas, cette tangente a pour équation = .

(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)


Tangentes obliques cubiques

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par

,

pour $m_in [$val16,$val17].

$val38

Donnez une valeur de pour laquelle la tangente de la courbe est de la forme  :
= . Dans ce cas, on a = .

(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)


Longueur point double

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par

,

pour $m_in [$val16,$val17]. Déterminez le point double de la courbe, ainsi que la longueur de la partie entre les deux passages au point double.

r=2.5 xrange -r,r yrange -r,r trange -2,2 fill 0,0,white arrow -r,0,r,0,10,grey arrow 0,-r,0,r,10,grey text grey,0.88*r,0.16*r,small,x text grey,0.07*r,0.95*r,small,y disk $val28,$val29,8,red plot skyblue,$val14,$val15 trange $val26,$val27 linewidth 2 plot blue,$val14,$val15

Réponse : le point double est ( = , = )

Correspondant aux deux valeurs de : = et = .
La longueur de la partie de courbe est .
(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)


Points stationnaires

Soit la courbe paramétrée d'équations paramétriques


pour $m_in [-1,1]. On écrit pour sur ,

Calculer le plus petit indice pour lequel est non nul. Que vaut ? Calculer le plus petit indice tel que les vecteurs et forment un système libre de . Que vaut ? Voici les vecteurs et que vous avez trouvé. Ils déterminent 4 quadrans I, II, III, IV .

xrange -($val40), $val40 yrange -($val41), $val41 line $val13,$val14,black line $val24,$val25, black fill $val30, blue fill $val33,yellow fill $val36,grey fill $val39,orange dhline $val15,$val17,black arrow ($val15),($val17),($val15)+1,($val17), 5, black arrow ($val15),($val17),($val15),($val17)+1, 5, black dvline $val15,$val17,black linewidth 2 arrow 0,0,$val12, 10, navy arrow 0,0,$val21, 10,navy text black , $val12, medium, vp text black , $val21, medium, vq text black,$val30,large, I text black, $val33,large, II text black, $val36,large, III text black, $val39,large, IV

Dans quel cadran se trouve la courbe lorsque est $val44 et proche de 0 : ? Dans quel cadran se trouve la courbe lorsque est $val45 et proche de 0 : ? Le point de paramètre 0 est un

Tangente et points stationnaires

Soit la courbe paramétrée d'équations paramétriques


pour $m_in [-1,1]. Calculer un vecteur tangent à la courbe au point et donner l'équation de la tangente en ce point.

Tableau de variation alpha

Nous avons une courbe paramétrée , donnée par , pour $m_in [$val8,$val12]. Voici les tableaux de variation des deux fonctions.

t$val8 $val9 $val10 $val11 $val12
$val25
$val26

Parmi les courbes suivantes, laquelle correspond à ?

$val28 plot blue,$val41 $val29 A $val28 plot blue,$val42 $val29 B $val28 plot blue,$val43 $val29 C $val28 plot blue,$val44 $val29 D

Tableau de variation alpha II

Nous avons une courbe paramétrée , donnée par , pour $m_in [$val8,$val12]. Voici les tableaux de variation des deux fonctions.

t$val8 $val9 $val10 $val11 $val12
$val26
$val27

Parmi les courbes suivantes, laquelle correspond à ?

$val29 plot blue,$val43 $val30 A $val29 plot blue,$val44 $val30 B $val29 plot blue,$val45 $val30 C $val29 plot blue,$val46 $val30 D
Dans ce dessin de la courbe $val29 plot blue,$val47 disk $val62,$val63,6,red , le point rouge correspond à une valeur . A quel intervalle appartient  ?
A. [$val8,$val9]   B. [$val9,$val10]   C. [$val10,$val11]   D. [$val11,$val12]