Degré du pgcd avec dérivée
Soit
un polynôme de degré $val12 et à coefficients $val11, ayant $val6 racines réelles et $val7 racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit
la dérivée de
. Quel est le degré de pgcd(
) ?
Min. deg racines multiples
Quel est le degré minimum d'un polynôme P(x) à coefficients $val20 admettant : - $val10$val12$val7 comme racine de multiplicité $val8 ;
- $val17 comme racine de multiplicité $val9 ?
Répondez -1 si vous pensez qu'un tel polynôme n'existe pas.
Degré de somme
Soient $val6($val8) et $val7($val8) deux polynômes. Complétez : Si deg($val6)=$val9 et deg($val7)=$val11, alors $val13 est un polynôme de degré ________.
Equation de différence
Trouver le polynôme $val7($val6) tel que $val7($val6$val17)-$val7($val6$val18) = $val23$val62$val26$val6$val27 et que $val7($val28)=$val29.
Tapez x^3 pour $val63, etc.
Trouver racine multiple degré 3
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
Trouver racine multiple degré 4
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
Trouver racine multiple degré 5
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
Trouver racine multiple degré 6
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
pgcd donné avec dérivée
Trouver le polynôme
tel que : - pgcd(
) =
, où
est le polynôme dérivé de
;
-
;
- le degré de
est le plus petit possible.
Vous pouvez entrer le polynôme sous forme développée ou factorisée. Tapez x^3 pour
, etc.
Racine donnée deg 3
Déterminez le polynôme P($val6) = $val63$val22$val62$val23$val6$val24 , sachant que $val8 et $val9 sont réels, et que $val13 en est une racine.
Min. deg pgcd avec dérivée 2
Soit P(x) un polynôme de degré $val14 et à coefficients $val13, ayant $val8 racines réelles et $val9 racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P''(x) la dérivée seconde de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P''(x)) ?
Min. deg pgcd avec dérivée n
Soit P(x) un polynôme de degré $val13 et à coefficients $val12, ayant $val6 racines réelles et $val7 racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P($val8)(x) la dérivée d'ordre $val8 de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P($val8)(x)) ?
Multiplicité d'une racine degré 3
Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité d'une racine degré 4
Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité d'une racine degré 5
Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité d'une racine degré 6
Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité paramétrée degré 3
Trouver une valeur de
pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.
ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.
Multiplicité paramétrée degré 4
Trouver une valeur de
pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.
ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.
Paramétré deg 2
Pour quelles valeurs réelles du paramètre $val7 le polynôme ($val7$val12)$val62 + (2$val7$val13)$val6 + $val7$val14 a $val17 ? (
)
Paramétré deg 2 II
Pour quelle valeur réelle du paramètre $val7 le polynôme ($val12$val7$val16)$val62 + ($val13$val7$val17)$val6 + ($val14$val7$val18) a une racine égale à $val11 ? (Sous condition que $val12$val7$val16 $m_ne 0.)
Racines polynome complexe deg 2
Calculer les deux racines du polynôme P($val7) = $val72 + ($val14$val18$val6)$val7 + ($val16$val19$val6). Vous pouvez entrer les deux racines $val8,$val9 dans n'importe quel ordre.
Fonction de racines deg 2
Soient
,
les deux racines du polynôme
où
est un coefficient réel. Quelle est la valeur de
? (Cette valeur est une fonction de
.)
Fonction de racines deg 3
Soient
,
,
les trois racines du polynôme
, où
est un coefficient réel non nul. Quelle est la valeur de
? (Cette valeur est une fonction de $m_a.)
Re(racine) deg 2
Soit P($val6) = $val8$val62 $val10$val6 +$val7 un polynôme à coefficients réels, ayant deux racines complexes conjuguées. Quelle est la partie réelle d'une racine r ?
Compte racines avec dérivée
Soit
un polynôme de degré $val11 et à coefficients $val14, et soit
le polynôme dérivé de
. On sait que pgcd(
) est un polynôme de degré $val10. Quel est le nombre de racines distinctes de
? (racines réelles et complexes confondues)
Racine de polynôme composé
Soient $val6($val8) un polynôme, et $val7($val8) = $val82$val11$val8$val16 un autre polynôme. Considérons les polynômes composés $val6($val7($val8)) et $val7($val6($val8)). Complétez : Si $val19 est une racine de $val18, alors $val21.
Racines réelles deg 2
Trouver les deux racines r1, r2 du polynôme $val10$val62 $val15 $val14 . (Les racines sont réelles, et l'ordre des racines est sans importance.)
Multiplicité racine de somme
Soient $val6($val8) et $val7($val8) deux polynômes. Complétez : Si $val9 est une racine de multiplicité $val10 de $val6($val8) et aussi une racine de multiplicité $val12 de $val7($val8), alors $val9 est une racine de multiplicité ________ de $val14.
Statut racines deg 2
Quel est le type de racines du polynôme de degré 2 suivant ? $val17$val62 $val21$val6 $val22
Factorisation de trinôme
Factoriser
.
Etape 1. Mettons les termes de
en un carré complet :
= (
)2.
Nous avons
.
Etape 2. Donc
Donc
Etape 3.
Maintenant on applique la formule
:
(
)(
).
Résultat :
.
(Il faut entrer les expressions simplifiées.)
Racine triple deg 3
Pour quelles valeurs réelles des paramètres $val7 et $val8 le polynôme P($val6) = $val63 + $val10$val7$val62 + $val8$val6 + ($val9-$val7) a une racine triple ?
Racine triple deg 3 II
Pour quelles valeurs réelles des paramètres $val7 et $val8 le polynôme P($val6) = $val63 $val12$val7$val62 $val13$val8$val6 +($val9+$val7+$val8) a une racine triple ? (La solution n'est pas forcément unique.)