Approximation linéaire

Soit la fonction de dans définie par

.

Donner l'approximation linéaire de au point . Si elle n'existe pas, répondre non.

Approximation linéaire 2

Soit la fonction de dans définie par

.

Donner l'approximation linéaire de au point .

Champ scalaire 2D

Soit le champ scalaire donnant $val6 en un point de donné par

.

Calculer $val6 au point ($val13 , $val14) . Donner l'équation de la courbe de niveau de $val7 constante $val15 La région du plan où $val6 est $val20 est

Dérivées directionnelles

Soit une fonction de dans et et deux vecteurs de définis par

.

Connaissant les dérivées partielles et de dans les deux directions et au point , peut-on calculer la dérivée partielle de en dans n'importe quelle direction? Soit le vecteur défini par . Calculer la dérivée de dans la direction de , sachant que l'on a :

avec , .
En effet, ce n'est possible car les vecteurs et sont liés.
Est-il possible d'avoir , avec ?

Composition I, dérivées partielles

Soit une fonction de deux variables et de dans et la fonction de dans définie par

.

Calculer la dérivée partielle de selon .

(x,y)= ( , ) + ( , )


Dérivées partielles 1

Calculer les dérivées partielles de la fonction définie par

.


Dérivées partielles 2

Calculer pour la fonction définie par

.


Composition II Dérivées partielles

Soit une fonction de deux variables et de dans et la fonction de dans définie par

.

Calculer la dérivée seconde de selon .

(x,y)= ( , ) + ( )
+ ( ) + ( )
+ ( ) (x,y)= ( ) ( ) + ( , )
+ ( ) ( ) + ( ) ( )
+ ( ) (x,y)= ( ) + ( ) ( )
+ ( , ) + ( ) ( )
+ ( )


Formule de Taylor (1)

Soit une fonction sur à valeurs réelles. Ecrire la formule de Taylor-$val11 à l'ordre 1 au point .

Si besoin, est un point convenable tel que , , est une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers $val7 et tend vers $val8.

Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard ! En effet la formule de Taylor-$val11 à l'ordre 1 au point s'écrit
$val13
avec une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers $val7 et tend vers $val8 où est un point convenable vérifiant ,

On suppose que

$val18
pour tout vérifiant , .

Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de pour , ? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non


Formule de Taylor (2)

Soit une fonction sur à valeurs réelles. Ecrire la formule de Taylor-$val11 à l'ordre 2 au point (si besoin, est un point convenable tel que , , est une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers $val7 et tend vers $val8) :
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard ! En effet la formule de Taylor-$val11 à l'ordre 2 au point s'écrit

$val13

avec une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers $val7 et tend vers $val8 où est un point convenable vérifiant ,

Soit la fonction affine définie par

On suppose que
$val19
pour tout vérifiant , .

Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de pour , ? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non


Variation d'une boîte II

La largeur , la longueur et la hauteur d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont , et et la largeur $val13 à raison de $val9 , la longueur $val15 à raison de $val10 et la hauteur $val17 à raison de $val11 .

Déterminer la vitesse d'augmentation $val22 à cet instant. (On donnera l'unité.)


Variation d'une boîte II

La largeur , la longueur et la hauteur d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont , et et la largeur $val13 à raison de $val9 , la longueur $val15 à raison de $val10 et la hauteur $val17 à raison de $val11 .

Déterminer la vitesse d'augmentation $val22 à cet instant. (On donnera l'unité.)


Variation de résistances I

Dans un circuit électrique, trois résistances , et sont en parallèle. Les trois résistances varient en fonction du temps. A un moment donné , elles valent ohms, ohms et ohms. Soit la fonction donnant la résistance équivalente en fonction du temps.

Donner l'expression de la dérivée de en :

= + +

On a
= $val20 + $val21 + $val22

En , $val13 à raison de $val9 ohms/s, $val15 à raison de $val10 ohms/s et $val17 à raison de $val11 ohms/s. Calculer la vitesse d'augmentation de la résistance équivalente à cet instant. (Pour la vitesse, on donnera l'unité.)

L'exercice a plusieurs étapes.