Carrelages
$val9 On désire paver le plan avec des carreaux rectangulaires de manière à ce que chaque coin en bas à gauche soit sur un point du réseau dessiné [
]
On désire de plus que les deux extrémités des bords $val8 soient sur le réseau. Placer avec la souris le premier pavé dont le coin en bas à gauche est le point rouge :
)
Donner la dimension des carreaux (horizontale, verticale)
$m_times
Carrelages et matrices d'Hermite
Voici un réseau dessiné :
La matrice d'Hermite (échelonnée en colonnes, triangulaire $(val8[1])) qui lui est associée est
Donner la matrice d'Hermite (échelonnée en colonnes, triangulaire $(val8[$m_step])) qui lui est associée :
Carrelages : taille
Donner la taille des carreaux rectangulaires permettant de
le plan parallèlement aux axes de manière à ce que le groupe de translations du pavage soit engendré par les deux vecteurs
et
:
$m_times
$m_times
Bases commensurables
Soit
le réseau standard et soit
le sous-$m_ZZ-module engendré par les vecteurs
et
.
Donner une base
de
qui soit commensurable avec une base de
, ce qui signifie que pour certains entiers
et
positifs,
est une base de
:
Sous-groupes de (Z/NZ)^*
$val6 Soit
. Calculer le plus grand entier
tel que
contienne un sous-groupe isomorphe à
:
Diviseurs élémentaires et base associée
Le vecteur
Les vecteurs colonnes de la matrice
est le générateur
sont les générateurs
d'un sous-$m_ZZ-module
de
.
Le diviseur élémentaire
Les diviseurs élémentaires
de
, considéré comme sous-module de
,
est
sont, du plus grand au plus petit,
.
Donner une base de
associée à
:
S'il y a plusieurs diviseurs élémentaires, séparez-les par des virgules.
Entrer la base associée en forme d'une matrice où les vecteurs colonnes forment la base associée. Donner d'abord les vecteurs associés aux diviseurs élémentaires dans le même ordre que ceux-là, puis le reste de la base.
Diviseurs élémentaires
Le vecteur
Les vecteurs colonnes de la matrice
est le générateur
sont les générateurs
d'un sous-$m_ZZ-module
de
.
Le diviseur élémentaire
Les diviseurs élémentaires
de
, considéré comme sous-module de
,
est
sont, du plus grand au plus petit,
.
Base d'un réseau
Le dessin ci-dessous montre un réseau dans
, ainsi qu'en couleur rouge un vecteur du réseau qui fait partie d'une base.
Avec lequel des vecteurs en vert le vecteur rouge forme-t-il une base du réseau ? Cliquez sur le point convenable.
Groupes abéliens
Ecrire le groupe abélien
.
.
.
.
sous la forme
,
où
divise
pour tout
.
Groupe d'unités de Z/nZ
Donner les invariants du groupe
dans l'ordre décroissant.
Séparez les invariants par des virgules.
Image d'un Z-module
$val10 Trouver deux vecteurs formant une base du $m_ZZ-module engendré par les trois vecteurs :
,
,
.
,
Base d'un sous-Z-module
$val12 Trouver une base du $m_ZZ-module engendré par les vecteurs :
$m_j =
Ecrire la réponse sous forme d'une matrice dont les colonnes seront les vecteurs de la base que vous avez trouvée :
Vous pouvez utiliser un logiciel de calcul (sur ce serveur Pari/GP par exemple).
Image d'un Z-module (avec aide)
$val10 Trouver deux vecteurs formant une base du $m_ZZ-module engendré par les trois vecteurs :
,
,
.
sachant que
:
,
Interprétation de la forme de Smith
On veut interpréter l'égalité suivante des matrices
=
sachant que
et
sont de déterminant $m_pm 1. On a d'autre part
et
.
Soit
le sous-$m_ZZ-module de
engendré par les vecteurs
,
...,
représentés par les colonnes de la matrice
dans la base canonique
,
...,
.
Etape 1 : Les vecteurs colonnes de $(val6[$val8]) forment
Etape 2 :
Ecrire les vecteurs du nouveau système générateur
,
...,
de
obtenu par cette écriture comme combinaison linéaire des vecteurs
,
...,
(on les écrira dans l'ordre dans lequel ils interviennent naturellement) : Ecrire ensuite les vecteurs
,
...,
dans la base
,
...,
:
Donner l'expression de la nouvelle base
,
...,
de
naturellement obtenue par cette écriture dans la base
,
...,
: Un multiple de chacun des vecteurs
,
...,
appartient au $m_ZZ-module
. Donner le plus petit multiple (positif) et l'exprimer dans le système générateur des
,
...,
:
Consigne : Il n'y a quasiment aucun calcul à faire. Plusieurs réponses sont peut-être possibles, mais la seule acceptée est celle venant directement de l'égalité de matrices données.
Groupes abéliens isomorphes ?
Les deux groupes abéliens suivants sont-ils isomorphes ?
$m_ZZ/$(val12[$m_i])$m_ZZ $m_oplus
$m_ZZ/$(val12[$val14])$m_ZZ
et
$m_ZZ/$(val6[$m_i])$m_ZZ $m_oplus
$m_ZZ/$(val6[$val13])$m_ZZ
Maçonnerie I
$val18 ([
] en dimension 2) Donner les 6 tailles de briques possibles (avec répétitio éventuellement)
,
,
,
,
,
sous la forme 1,2,3
Matrices élémentaires
Si l'on multiplie à $val11 une matrice
par la matrice
,
Si l'on multiplie à $val11 une matrice
par la matrice
, $(val15[$val14]). Plus précisément, $(val16[$val14;1])
$(val16[$val14;2])
.
Multiplication/puissance dans Z/nZ
$(val8[$val10;])
Z-modules et formes normales
$val13
Quotient de deux Z-modules
Soit
le sous-$m_ZZ-module de
engendré par
le vecteur
les vecteurs colonnes de la matrice
.
Calculer la décomposition du module quotient
en somme directe d'une partie libre
et de sous-modules de torsion $m_ZZ/
$m_ZZ, où
est divisible par
.
= $m_ZZ
$m_oplus $m_ZZ/
$m_ZZ
Z-modules dans Q^*
$val6 Soit l'homomorphisme
de groupes de
dans
défini par
L'image de
est contenue dans le sous-$m_ZZ-module engendré par $val13. Calculer la matrice de
dans la base canonique de
et dans la base $val13.
La matrice de
dans la base canonique de
et dans la base $val13 est
et on a l'égalité
$m_times
$m_times
=
Quel est le rang du $m_ZZ-module image de
?
Quel est le rang du noyau de
?
Donner la base de vecteurs du noyau qui vous est suggérée :
Quel est l'indice de
dans
Relations dans un groupe abélien
$val6 Soit
le groupe abélien ayant $val7 générateurs dont un système complet de relations est $val11
Donner les invariants du groupe
(il doit y en avoir $val7, d'abord les 0 éventuels, puis les invariants en décroissant y compris les 1 si nécessaire).
Le groupe
est-il fini ?
Les invariants de
sont $val10 et
est fini.
n'est pas fini.
- Donner l'exposant de
:
- Donner l'ordre de
:
-
est-il cyclique ?
- Donner le rang de
:
- Donner l'ordre du sous-groupe de torsion maximal de
:
Relation entière entre des vecteurs
$val10 Trouver une combinaison linéaire à coefficients entiers
= 0
entre les trois vecteurs :
,
,
.
On demande une relation génératrice de toutes les combinaisons linéaires entières :
,
,
Surjectivité
L'application linéaire de $m_ZZ-modules
dont la matrice dans les bases canoniques est
est-elle surjective ?