Image et noyau

Soient une base de et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est
.

1. Donnez le rang de . 2. Le rang de est $val7. Donnez une base de l'image de . 3. Donnez une base du noyau de .



Base de l'image

Soient une base de et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est

Donnez une base de l'image de .


Entrez les composantes des vecteurs de la base de l'image en colonne.


Base du noyau

Soient une base de et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est

Donnez une base du noyau de .


Entrez les composantes des vecteurs de la base du noyau en colonne.


Décomposition sur des supplémentaires

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Décomposez le vecteur comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de .
Entrez les composantes de et dans la base .

Endomorphisme du plan

Il existe endomorphisme(s) du -espace vectoriel tel que

   et   

Endomorphisme de l'espace

Il existe endomorphisme(s) de vérifiant

,     et  

Image d'un plan

Soit l'endomorphisme de donné par

et soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs et .

L'image de par est . Vous avez trouvé que l'image de par est $val19. Que signifie ce résultat ?

Image d'un plan (avec paramètres)

Soit l'endomorphisme de donné par

Pour quelles valeurs du paramètre l'application linéaire n'est-elle pas un isomorphisme ? (les réponses toujours ou jamais sont admises).

On suppose que . Soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs

et .

Pour quelles valeurs de , l'image de par est-elle contenue dans une droite ? (les réponses toujours ou jamais sont admises)

Vous avez répondu que l'image de par n'est jamais contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est toujours contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est contenue dans une droite si et seulement si . Pour , qu'est-ce qui est vrai parmi les affirmations suivantes?

Choisissez toujours la réponse la plus complète.

Projection vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la projection vectorielle sur parallèlement à .

Prolongement d'un endomorphisme

On considère les vecteurs de suivants :

Il existe endomorphisme(s) de qui envoi(en)t sur , sur et sur .


Noyau, Image : QCM I

Ce QCM comporte $val7 question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question $m_k : $(val9[$m_k;]) Votre réponse :

$(val20[$m_k])

La bonne réponse : $(val10[$m_k;$(val12[$m_k;])])


Noyau, Image : QCM II

Ce QCM comporte $val7 questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question $m_k : $(val9[$m_k;]) Votre réponse :

$(val20[$m_k])

La bonne réponse : $(val10[$m_k;$(val12[$m_k;])])


Injectivité, surjectivité : QCM I

Ce QCM comporte $val7 question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question $m_k : $(val9[$m_k;]) Votre réponse :

$m_r[$m_k]

La bonne réponse : $(val10[$m_k;$(val11[$m_k;])])


Injectivité, surjectivité : QCM II

Ce QCM comporte $val7 questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question $m_k : $(val9[$m_k;]) Votre réponse :

$m_r[$m_k]

La bonne réponse : $(val10[$m_k;$(val11[$m_k;])])


Linéarité : QCM I

Ce QCM comporte $val7 question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question $m_k : $(val9[$m_k;]) Votre réponse :

$(val14[$m_k])

La bonne réponse : $(val10[$m_k;$(val11[$m_k;])])


Linéarité : QCM II

Ce QCM comporte $val7 question questions . Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question $m_k : $(val9[$m_k;]) Votre réponse :

$(val14[$m_k])

La bonne réponse : $(val10[$m_k;$(val11[$m_k;])])


Symétrie vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la symétrie vectorielle par rapport à parallèlement à .