与导数的最大公因式次数

P(x) 是一个 $val14 次$val13系数多项式, 它有 $val8 个不同的实根和 $val9 个不同的复根 (不计重数). 设 P'(x) 是 P(x) 的导数. 问 gcd(P(x),P'(x)) 的次数是多少?

有重根的最小次数

满足以下条件的$val20系数多项式 P(x) 的最小次数是多少? 如果你认为这样的多项式不存在. 则回答 -1.

和的次数

设 $val6($val8) 和 $val7($val8) 是两个多项式. 问:

若 deg($val6)=$val9 及 deg($val7)=$val11, 则 $val13 是一个多项式, 它的次数为


差分方程

求多项式 $val7($val6) 使得

$val7($val6$val17)-$val7($val6$val18) = $val23$val62$val26$val6$val27

且 $val7($val28)=$val29.

我们用 x^3 代表 $val63, 如此类推.


3 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.


4 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.


5 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.


6 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.


已知与导数的最大公因式

求出多项式 $val7($val6) 使得: 你输入的多项式写成因式乘积或展开的形式均可接受. 我们用 x^3 代表 $val63, 如此类推.

已知3次多项式的根

求多项式

P($val6) = $val63$val22$val62$val23$val6$val24 ,

已知 $val8 和 $val9 是实数, $val13 是一个根.


与2阶导数的最大公因式的最小次数

P(x) 是一个 $val14 次$val13系数多项式, 它有 $val8 个不同实根与 $val9 个不同复根 (不计重数). 设 P''(x) 是 P(x) 的 2 阶导数. 问最大公因式 gcd(P(x),P''(x)) 次数的最小值是多少?

与高阶导数的最大公因式的最小次数

P(x) 是一个 $val13 次$val12系数多项式, 它有 $val6 个不同实根与 $val7 个不同复根 (不计重数). 设 P($val8)(x) 是 P(x) 的 $val8 阶导数. 问最大公因式 gcd(P(x),P($val8)(x)) 次数的最小值是多少?

3 次多项式根的重数

$val8 是以下多项式的一个根. 求它的重数.


4 次多项式根的重数

$val8 是以下多项式的一个根. 求它的重数.


5 次多项式根的重数

$val8 是以下多项式的一个根. 求它的重数.


6 次多项式根的重数

$val8 是以下多项式的一个根. 求它的重数.


3 次含参数多项式的重根

求 的一个值使以下多项式有一个重根, 并求出这个重根.

警告. 本练习的回答中不能有近似数! 解都是整数. 找找看.

4 次含参数多项式的重根

求 的一个值使以下多项式有一个重根, 并求出这个重根.

警告. 本练习的回答中不能有近似数! 解都是整数. 找找看.

2次参数方程

参数 $val7 取什么实数值时, 多项式

($val7$val11)$val62 + (2$val7$val12)$val6 + $val7$val13

有$val16? (假设 $val7$val11 $m_ne 0.)


2次参数方程 II

参数 $val7 取什么实数值时, 多项式

($val12$val7$val16)$val62 + ($val13$val7$val17)$val6 + ($val14$val7$val18)

有一个根 $val11? (假设 $val12$val7$val16 $m_ne 0.)


2次多项式的复根

求以下多项式的两个根

P($val7) = $val72 + ($val14$val18$val6)$val7 + ($val16$val19$val6).

根 $val8,$val9 的次序可以任意.


2次多项式根的函数

设 $val8, $val9 是以下多项式的 2 个根

$val62 $val13$val6 $val14 ,

其中 $val7 是实数. 问 t = $val82+$val92  的值是什么? (这个值是 $val7 的函数.)


3次多项式根的函数

设 $val8, $val9, $val10 是以下多项式的 3 个根

$val63 $val16$val62 $val17$val6 $val18 ,

其中 $val7 是非零实数. 问 t = $val24  的值是什么? (这个值是 $val7 的函数.)


2次多项式根的实部

P($val6) = $val8$val62 $val10$val6 +$val7 是有一对共轭复根的实系数多项式. 问根 r 的实部是什么?

用导数计算根的个数

P(x) 是 $val11 次$val14系数多项式, 且设 P'(x) 是 P(x) 的导数. 已知 gcd(P(x),P'(x)) 是一个 $val10 次多项式. 问 P(x) 的不同的根的个数是多少? (包括实根与复根)

复合多项式的根

设 $val6($val8) 是多项式, $val7($val8) = $val82$val11$val8$val16 是另一多项式. 考虑复合多项式 $val6($val7($val8)) 和 $val7($val6($val8)). 填空:

若 $val19 是 $val18 的一个根, 则$val21.


2次多项式的实根

求以下多项式的两个根 r1, r2

$val10$val62 $val15 $val14 .

(根是实数, 次序不计.)

和或积的根的重数

设 $val6($val8) 和 $val7($val8) 是两个多项式. 填空:

若 $val9 是 $val6($val8) 的 $val10 重根也是 $val7($val8) 的 $val12 重根, 则 $val9 是 $val14 的 ________ 重根.


2次多项式根的情况

以下二次多项式有怎样的根?

$val17$val62 $val21$val6 $val22


三项式的因式分解

因式分解 .

第 1 步. 你把 项化成完全平方:

= ( )2.
我们有 .

第 2 步. 所以

-
= - 2 .
所以

- $val15
=

第 3 步. 现在我们应用公式 :

( )( ).

结果: . (你应该输入化简后的表达式.)


3次多项式的三重根

在以下多项式里参数 $val7 和 $val8 取什么实数值时会有三重根

P($val6) = $val63 + $val10$val7$val62 + $val8$val6 + ($val9-$val7) ?


3次多项式的三重根 II

在以下多项式里参数 $val7 和 $val8 取什么实数值时会有三重根

P($val6) = $val63 $val12$val7$val62 $val13$val8$val6 +($val9+$val7+$val8) ?

(可有多个解.)